调和函数上下包络的证明

以上是Perron 方法中关于调和函数上包络（upper envelope）和下包络（lower envelope）的核心证明。这是位势论和椭圆型偏微分方程中 Dirichlet 问题的经典内容。

一、整体背景

二、证明逻辑

三、补充说明

四、核心思想

之前的关闸函数（barrier）、Wiener 判别准则、Kellogg-Evans 定理，都是在这个 Perron 框架下，研究什么时候边界点是正则点的工具。

定理 5.3.2（Brelot）+ 推论解释

2. resolutive（可解的）定义

3. 推论 1：可解函数的充要条件

4. Nikodym 定理带来的简化

5. 整个逻辑链

简单总结

瘦边界点不会给 Dirichlet 问题带来实质约束；边界函数f能不能解 Dirichlet 问题，等价于f对调和测度可积；并且只需要任选一个内点来检验这个可积性。

注意